Отец работал ходатаем по крестьянским делам при Орловском земстве. Семья основное время жила в г. Орлове.
За участие в забастовке учащихся средних учебных заведений г. Вятки исключён из училища (12.1905). Восстановлен (1907), окончил это училище (1910).
1911 – окончил педагогические курсы при Харьковском земледельческом училище.
Работал преподавателем Лилковатского сельскохозяйственного училища Харьковской губернии.
В 1915 г. призван в армию.
Окончил ускоренный курс Алексеевского ВУ. Прапорщик.  Направлен на Северо-Западный фронт.
Участник Первой мировой войны.
В составе 66 Бутырского пп принимал участие в боях до 1917 г. Штабс-капитан.
После Февральской революции избран председателем полкового комитета.
Демобилизован из армии (4.1918).
Вернулся в г. Орлов, работал членом коллегии земельного отдела Орловского уездного исполкома.
Добровольно вступил в ряды РККА (4.1919).
Участник Гражданской войны.
Воевал против колчаковцев и врангелевцев в районе Глазовского уезда Вятской губернии. Показал себя способным и опытным военным инженером.
После войны – инженер корпуса, дивизии.
Преподаватель Московской ВИШ.
Преподаватель кафедры минно-взрывного дела ВИА (1932).
Награжден юбилейной медалью «20 лет РККА» (1938).
Начальник кафедры подрывного дела ВИА им. В.В. Куйбышева.
Участник Советско-финляндской войны (1939-1940).
Заместитель начальника Отдела инженерных войск 80 отдельной А. Полковник.
Награжден орденом Красной Звезды (Указ Президиума ВС СССР от 26.1.1940 г.).
Старший преподаватель кафедры тактики ВИА им. В.В. Куйбышева. Кандидат военных наук (1941). Автор и соавтор нескольких учебников, книг и 3 изобретений. Доцент.
Участник Великой Отечественной войны. Защитник  Москвы. 
17.8.-20.9.1941 – комендант 35 Волоколамского УР и г. Волоколамска.
10.11.1941 – заместитель начальника Инженерного управления Московской зоны обороны.
Награжден орденом Красной Звезды (Указ Президиума ВС СССР от 22.1.1942 г.).
Начальник отряда заграждений в составе исб на Западном фронте (Витебск, Полоцк). В короткие сроки силами неподготовленных подразделений под огнем противника взорвал 34 моста общей протяженностью 5000 пог.м, чем задержал наступающих фашистов и дал возможность подхода наших частей. По совокупности боевых заслуг полковником В.А. Квятковским представлен (25.4.1943) к ордену Ленина.
Генерал-майор инженерных войск (16.10.1943). Член ВКП(б) (на 1943).
Награжден орденом Отечественной войны 2 ст. (Указ Президиума ВС СССР от 29.5.1944 г.).
После войны работал начальником военной кафедры гражданских ВУЗ (Московского гидромелиоративного института (на 1950).
В отставке (1956).
Умер (11.12.1961) в Москве. Похоронен на  Введенском кладбище.